Kanaan, Bastian
(2010)
Der Satz von Borel-Ritt für ultradifferenzierbare Funktionen.
["eprint_fieldopt_thesis_type_diplom-magister" not defined], Universität Oldenburg.
Abstract
Es wird ein klassisches Problem für differenzierbare Funktionen betrachtet, das im Ursprung auf die Doktorarbeit von Borel (1897) zurückgeht. Borel zeigte dort, dass es möglich ist, zu jeder Zahlenfolge eine glatte Funktion zu finden, deren Ableitungen im Ursprung mit dieser Folge übereinstimmen (Ausdehnung oder Extension). Der Satz von Borel besagt also, dass der Boreloperator, der eine Funktion auf ihre Ableitungswerte in 0 abbildet, surjektiv auf den Raum aller komplexen Zahlenfolgen ist. Ritt zeigte 1916, dass man zusätzlich erreichen kann, dass die Ausdehnungsfunktionen holomorph in einem Winkelbereich gewählt werden können ("Borel-Ritt-Problem"). Eine Variante des Borel-Ritt-Problems besteht in der Frage, ob die Wachstumsbedingungen, die für die Folge der Ableitungen in 0 gelten, auch für die Ableitungen der Extensionen erhalten werden können (ultradifferenzierbare Variante) bzw. ob stetige lineare Extensionsoperatoren existieren, die das Borel-Problem bzw. seine Varianten lösen. Mityagin zeigte, dass dies für das ursprüngliche Borel-Problem nicht möglich ist, während sich die Existenz von Ausdehnungsoperatoren im ultradifferenzierbaren und ultraholomorphen Fall unter geeigneten Voraussetzungen zeigen lässt. Generell muss z.B. Non-quasi-Analytizität vorausgesetzt werden.
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