Trei, Wilke Idäus (2026) Explicit Methods for Solving the Discrete Logarithm Problem on Algebraic Curves. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

This dissertation presents a comprehensive analysis of discrete logarithm problems (DLPs) on algebraic curves with at least a single fully ramified point. While elliptic curves - a subset of these curves - typically only allow generic solvers, these more general curves provide additional structure that can be leveraged for novel solution approaches. This work introduces a unified framework for solving these DLPs. The focus lies on new algorithms based on the index calculus principle and an improved sieving method. These demonstrably require fewer arithmetic operations than previously known methods. Furthermore, the smoothness probability of ideals, crucial for the overall complexity, is analyzed in detail and extended to previously unstudied parameterizations. Finally, two optimized implementations prove the high efficiency: The new algorithms enable the solution of previously intractable DLPs using today's resources.

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Explizite Methoden zur Lösung des Problems des diskreten Logarithmus auf algebraischen Kurven

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Diese Dissertation präsentiert eine umfassende Analyse von Problemen des diskreten Logarithmus (DLPs) auf algebraischen Kurven mit mindestens einem vollständig verzweigten Punkt. Während elliptische Kurven – eine Teilmenge dieser Kurven – in der Regel nur generische Lösungsmethoden zulassen, bieten diese allgemeineren Kurven zusätzliche Strukturen, die für neuartige Lösungsansätze genutzt werden können. Diese Arbeit stellt einen einheitlichen Rahmen zur Lösung dieser DLPs vor. Der Schwerpunkt liegt auf neuen Algorithmen, die auf dem Index-Calculus-Prinzip und einer verbesserten Siebmethode basieren. Diese erfordern nachweislich weniger arithmetische Operationen als bisher bekannte Methoden. Darüber hinaus wird die Glattheitswahrscheinlichkeit von Idealen, die für die Gesamtkomplexität entscheidend ist, detailliert analysiert und auf bisher nicht untersuchte Parametrisierungen erweitert. Schließlich belegen zwei optimierte Implementierungen die hohe Effizienz: Die neuen Algorithmen ermöglichen die Lösung bisher unlösbarer DLPs mit heutigen Ressourcen.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	Discrete Logarithm Problem (DLP), Public-Key Cryptography, Algebraic Curves, Index Calculus, Sieving Methods
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	20 Mar 2026 13:52
Last Modified:	20 Mar 2026 13:52
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/7394
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-74756
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