Sánchez-Hernández, Álvaro (2026) Index theorem on fibred boundary manifolds. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

On the one hand, this thesis is expositive, in that it strives to provide a broad overview of index theory in singular spaces through blow-up methods. To this effect, it starts by introducing the machinery necessary to understand the statement of the Atiyah-(Patodi-)Singer results, with focus on those tools that will later be useful in the singular setting, together with some historical remarks. Then, it describes the class of singular manifolds that respond to this methodology and their related geometrical and analytical constructions relevant to the procedure, such as the heat blow-up space and Getzler rescaling. On the other hand, it presents the current stand of the author's work tackling the non-fully elliptic local index problem on manifolds with fibred boundary. This is a non-Fredholm extension of Leichtnam-Mazzeo-Piazza. The entrée is provided by scattering manifolds, the case of trivial fibres, which already presents most of the crucial difficulties of the general setting.

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Indexsatz auf Mannigfaltigkeiten mit gefasertem Rand

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Einerseits ist diese Arbeit expositorisch, indem sie versucht eine Übersicht der Indextheorie in singulären Räumen durch Blow-up Methoden zu verschaffen. Zu diesem Zweck werden zunächst die Konzepte vorgestellt, die notwendig sind, um die Sätze von Atiyah-(Patodi-)Singer zu verstehen. Der Fokus liegt hierbei auf den Werkzeugen, die im singulären Kontext anwendbar sind. Die relevanten singulären Mannigfaltigkeiten werden danach eingeführt, zusammen mit den für das Verfahren wesentlichen geometrischen und analytischen Konstruktionen, wie beispielsweise dem Heat Blow-up Raum und der Getzlers Reskalierung. Andererseits wird der aktuelle Stand der Arbeit des Autors im Bereich des "non-fully elliptic" lokalen Indexsatzes auf Mannigfaltigkeiten mit gefasertem Rand präsentiert, eine Nicht-Fredholm Erweiterung von Leichtnam-Mazzeo-Piazza. Der "scattering" Fall (triviale Fasern) ist die Vorspeise, in der die wesentlichen Schwierigkeiten des allgemeinen Falls bereits zu finden sind.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	Index theory, heat kernel, singular analysis, blow-up, Dirac operator
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	12 Mar 2026 09:46
Last Modified:	12 Mar 2026 13:50
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/7393
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-74743
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