Melles, Marco (2024) On simple polarized abelian varieties of dimension 3 with CM by non-maximal orders. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

This thesis discusses simple polarized abelian varieties with complex multiplication by an arbitrary order $S$ in a CM field $K$, especially the case in which the field of moduli $k_0$ is contained in the reflex field $K^r$ of a CM type $(K,\Phi)$. From Shimuras third main theorem, we deduce necessary conditions on the orders $S$ and apply them to the dimension 3 case, focusing on field of moduli $\mathbb{Q}$. We construct explicit bounds on the primes dividing the index $[\,\mathcal{O}_K\,:\,S\,]$ and their exponents. In some interesting special cases, the results allow constructing a certain minimal order, which is contained in every possible order $S$ appearing as the endomorphism ring of a simple polarized abelian variety with complex multiplication and field of moduli $\mathbb{Q}$. This allows to apply our results to simple genus 3 CM curves and algorithmically analyze $\bar{\mathbb{Q}}$-isomorphism classes of their Jacobians. In the end, we are able to show that there are no simple genus 3 hyperelliptic or Picard curves of a certain kind, which have complex multiplication by a non-maximal order $S$ and field of moduli $\mathbb{Q}$. Additionally, this thesis includes an algorithmic analysis of orders in cubic number fields and their property of being Gorenstein.

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Über einfache hauptpolarisierte abelsche Varietäten der Dimension 3 mit CM bezüglich nicht-maximaler Ordnungen

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In dieser Arbeit besprechen wir einfache polarisierte abelsche Varietäten mit komplexer Multiplikation bezüglich einer Ordnung $S$ in einem CM Körper $K$, insbesondere in dem Fall, dass der Modulkörper $k_0$ in dem Reflexkörper $K^r$ von einem CM Typ $(K,\Phi)$ liegt. Ausgehend von Shimuras drittem Hauptsatz folgern wir notwendige Bedingungen an die Ordnungen $S$ und wenden diese auf den Dimension 3 Fall mit Fokus auf die Modulkörper $\mathbb{Q}$ Situation an. Wir bestimmen explizite Schranken an die Primzahlen, die den Index $[\,\mathcal{O}_K\,:\,S\,]$ der auftretenden Ordnungen teilen und an deren Exponenten. In einigen interessanten Situationen erlauben es unsere Resultate eine bestimmte minimale Ordnung zu konstruieren, die in allen Ordnungen $S$ enthalten sein muss, welche als Endomorphismenringe von einfachen polarisierten abelschen Varietäten mit komplexer Multiplikation und Modulkörper $\mathbb{Q}$ auftreten können. Dies erlaubt eine algorithmische Analyse der $\bar{\mathbb{Q}}$-Isomorphieklassen der Jacobischen von einfachen Kurven vom Geschlecht 3 mit komplexer Multiplikation. Am Ende können wir zeigen, dass es keine einfachen hyperelliptischen oder Picard Kurven vom Geschlecht 3 einer bestimmten Art gibt, die komplexe Multiplikation bezüglich einer nicht maximalen Ordnung $S$ und Modulkörper $\mathbb{Q}$ haben. Zusätzlich enthält diese Arbeit eine algorithmische Analyse von Ordnungen in kubischen Zahlkörpern und ihrer Eigenschaft, Gorenstein zu sein.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	Complex Multiplication, Abelian Varieties, Jacobians, Algebraic Curves, Hyperelliptic Curves
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	02 Feb 2024 10:18
Last Modified:	02 Feb 2024 10:18
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/6146
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-62277
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