Damaschke, Orville (2023) L²-equivarianter Indexsatz für den Atiyah-Singer-Dirac operator auf global hyperbolischen Raumzeiten. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

Wir betrachten den Lorentzschen Dirac-Operator auf Zeit-kompakten global hyperbolischen Spin Mannigfaltigkeiten gerader Dimension mit nicht kompakter, raumartiger Cauchy-Hyperfläche, welche aufgrund der Kompaktheit der Zeit-Domäne zwei raumartige Randhyperflächen impliziert. Insbesondere betrachten wir die Cauchy-Hyperfläche als Galois-Überlagerung mit geschlossener Basis. Der zu betrachtende Dirac Operator entspricht dem gleichen Dirac Operator auf der Basis, welcher auf die Überlagerung geliftet wurde. Wir beweisen, dass dieser Lift unter (verallgemeinerten) Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen Breuer-Fredholm ist. Die hier vorgestellte Beweisstrategie basiert auf den Ausführungen und Ergebnissen für kompakte Hyperflächen von Christian Bär und Alexander Strohmaier für gewöhnliche Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen; der Fall verallgemeinerter Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen beruht auf Ergebnissen von Christian Bär und Sebastian Hannes für den Fall kompakter Cauchy-Hyperflächen.

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L²-equivariant index theorem for the Atiyah-Singer-Dirac operator on globally hyperbolic spacetimes

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We consider the Lorentzian Dirac operator on a temporal compact, globally hyperbolic spin manifold of even dimension with non-compact Cauchy hypersurface, inducing two boundary hypersurfaces due to the compactness of the time domain. We specify the Cauchy hypersurface as a Galois covering with closed base manifold. The Dirac operator of interest can be viewed as lift of the same Dirac operator on the base manifold. We equip the lifted Dirac operator with (generalised) Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions and show Breuer-Fredholmness of the lifted Dirac operator under the mentioned boundary conditions. The presented method of proof is based on the descriptions and results for compact hypersurfaces, provided by Christian Bär and Alexander Strohmaier for ordinary Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions; we also consider generalised Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions for which we rely on results from Christian Bär and Sebastian Hannes for the compact setting.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	Atiyah-Singer-Dirac-Operator, Galois-covering, Cauchy-Hyperfläche, Hyperbolizität, Dirac-Operator
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	13 Sep 2023 13:08
Last Modified:	13 Sep 2023 13:11
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/5861
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-59428
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