Kuhn, Dietrich (2022) Recursive Towers over Finite Fields. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

A tower is an infinite sequence of function fields of transcendence degree one over a finite constant field and is called good if the limit of the quotients of the number of rational places and genus is positive. Good towers can be used to construct Goppa codes with desirable parameters. The thesis focuses on recursive towers, in which the function fields can be explicitly described via one defining bivariate polynomial, and utilizes their tower graphs (TG) to deduce: First, the BGS-Conjecture on the existence of rational places splitting in all extensions holds true if all finite balanced weakly connected components (FBWCC) of the TG stop ramifying. Second, the TG has at most one FBWCC. Third, the limit cannot increase after a finite constant field extension. Fourth, a method to determine precise limits for most recursive towers with applicationsto various important towers. Finally, an approach to compute genus formulas and an implementation of it.

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Rekursive Türme über endlichen Körpern

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Ein Turm ist eine unendliche Folge von Funktionenkörpern (FK) mit Transzendenzgrad eins über einem endlichen Konstantenkörper und wird als gut bezeichnet, wenn der Grenzwert der Quotienten der Anzahl rationaler Stellen und des Geschlechts positiv ist. Die Arbeit konzentriert sich auf rekursive Türme, bei denen die FK über ein bivariates Polynom explizit beschrieben werden können, und nutzt ihre Turmgraphen (TG), um herzuleiten: Erstens gilt die BGS-Vermutung über die Existenz von in allen Erweiterungen zerlegenden rationalen Stellen, falls alle endlichen balancierten schwach zusammenhängenden Komponenten (EBSZK) des TG aufhören zu verzweigen. Zweitens hat der TG höchstens eine EBSZK. Drittens kann der Grenzwert nach einer endlichen Konstantenkörpererweiterung nicht steigen. Viertens wird eine Methode zur Bestimmung präziser Grenzwerte für die meisten rekursiven Türme vorgestellt. Zum Schluss wird ein Ansatz zur Berechnung von Geschlechtsformeln und deren Implementierung präsentiert.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	Funktionenkörper, Algebraische Geometrie, Graphentheorie, Perron-Frobenius-Theorie, Galois-Feld
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	27 Jun 2023 17:52
Last Modified:	27 Jun 2023 17:52
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/5828
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-59099
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