Junge, Matthias (2022) Asymptotically Fast Arithmetic in the Picard Group of Algebraic Curves & Related Topics. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

This thesis provides algorithms that constitute a toolkit to efficiently compute in the degree zero Picard group of algebraic curves of large genus over a field k. To the author’s knowledge, these algorithms are the first algorithms ever to implement the arithmetic in Picard groups for reducible and singular curves. The problem of computing in the degree zero Picard group is reduced to fast linear algebra over k[x] in dimension n and degree cX resulting in an asymptotic running time of O∼(nωcX). Here n denotes the degree of the given finite morphism π : X → P1k and cX an invariant of (X, π). We are able to prove that if X is irreducible and g denotes the genus of X, then cX ≈ g/n. Furthermore, if X is reducible with irreducible components X1, . . . , Xm, then cX ≈ max{gi/ni} where gi is the genus of Xi and ni = deg(π|Xi ).

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Asymptotisch schnelle Arithmetik in der Picardgruppe von algebraischen Kurven großen Geschlechts & verwandte Themen

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Diese Dissertation beschreibt Algorithmen, mit denen effizient in der Grad null Picardgruppe von algebraischen Kurven großen Geschlechts über einem Grundkörper k gerechnet werden kann. Nach Kenntnis des Autors sind diese Algorithmen die ersten, welche die Arithmetik in Picard-gruppen von reduziblen und singulären Kurven umsetzen. Das Rechnen in der Grad null Picardgruppe wird auf schnelle lineare Algebra über k[x] in Dimension n und Grad cX reduziert und resultiert in einer asymptotischen Laufzeit von O∼(nωcX). Hierbei bezeichnet n den Grad eines gegebenen endlichen Morphismus π : X → P1k und cX eine Invariante von (X, π). Es wird bewiesen, dass cX ≈ g/n für irreduzibles X mit Geschlecht g gilt. Ferner wird gezeigt, dass cX ≈ max{gi/ni} für reduzibles X mit irreduziblen Komponenten X1, . . . , Xm gilt, wobei ni = deg(π|Xi ) und gi jeweils das Geschlecht von Xi bezeichnet.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	Algebraische Geometrie, Picard-Gruppe, Schnelle Arithmetik, Algorithmus, Singuläre Kurve, Reduzible Kurve
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	11 Jul 2022 14:47
Last Modified:	11 Jul 2022 14:47
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/5467
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-55489
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