Bekermann, Benedikt (2019) Quantile und Konvexität - Übertragbarkeit der Jensenschen Ungleichung und anderer Aussagen vom Erwartungswert auf den Median. Masters, Carl von Ossietzky Universität Oldenburg.

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Abstract

Der Erwartungswert wird meist als das wichtigste charakteristische Merkmal einer Verteilung oder einer Stichprobe angesehen. Diese Ansicht ist verständlich, weil der Erwartungswert die Mitte einer Verteilung repräsentiert und man mit ihm wichtige Entscheidungen begründet, zum Beispiel ob eineWette fair ist oder nicht. Außerdem bietet der Erwartungswert mathematisch viele Vorteile. Er ist relativ einfach zu berechnen und besitzt mehrere wichtige Eigenschaften, wie zum Beispiel die Linearität, die den theoretischen Umgang erleichtern. Allerdings ist der Erwartungswert nicht der einzige mögliche Mittelwert einer Verteilung. In dieser Masterarbeit wird der Fokus auf Quantile gerichtet. Insbesondere sticht dabei der Median als Alternative zum Erwartungswert hervor. Er hat den Vorteil ebenfalls die Mitte zu repräsentieren, aber dabei gleichzeitig weniger anfällig für extreme Daten in Form von Ausreißern zu sein. Weil die Definition des Quantils sich deutlich von dem des Erwartungswertes unterscheidet, lassen sich die vorteilhaften Eigenschaften des Erwartungswertes nur bedingt auf Quantile und speziell den Median übertragen. Trotzdem sind gleiche oder sehr ähnliche Eigenschaften oft auch für Quantile vorhanden. Dies soll in dieser Arbeit dargestellt werden. Insbesondere die Gültigkeit der Jensenschen Ungleichung, die bezüglich des Erwartungswertes viele nützliche Anwendungen besitzt, soll auf den Median übertragen werden. Dies wird zum einen als direkter Beweis für den Median vorgestellt, soll aber zum anderen auch approximativ über die asymptotischen Eigenschaften von Quantilen erfolgen. Zur Untermauerung dieser Theorie wird eine Simulationsstudie durchgeführt, die demonstriert, dass die Jensensche Ungleichung tatsächlich ebenfalls auf Mediane übertragbar ist. Zur Darstellung des Realitätsbezuges werden als Beispiele zwei Phänomene vorgestellt, welche die Jensensche Ungleichung thematisieren.

Item Type:	Thesis (Masters)
Uncontrolled Keywords:	Robuste Statistik, asymptotische Statistik, konvexe Funktion, Simulation, Delta Methode, Pseudoinverse // robust statistics, asymptotic statistics, convex functions, simulation, delta method, pseudo invertible
Subjects:	Social sciences > Education Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM) Scientific Centers > C3L Center for Lifelong Learning
Date Deposited:	04 Aug 2020 09:55
Last Modified:	05 Oct 2020 11:24
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/4655
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-47362
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