Dafinger, Markus (2018) Invariant Source Forms, Conservation Laws, and the Inverse Problem of the Calculus of Variations. PhD, Universität Oldenburg.

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Volltext (1319Kb)

Abstract

We prove that under certain assumptions a partial differential equation (PDE) is necessarily variational, i.e. that it can be written as the Euler-Lagrange equation for some Lagrangian. Instead of investigating the PDE directly, we consider the so-called source form which is the natural object in this problem. We show that if a source form satisfies certain symmetries and corresponding conservation laws then it must necessarily be variational. Conservation laws describe important properties of physical differential equations, like the conservation of energy, momentum, angular-momentum, mass, charge and so on. It is well-known from Noether's first and second theorems that symmetries of a variational functional lead to conservation laws. In some sense, we want to reverse this statement and prove that symmetries and corresponding conservation laws lead to a variational functional.

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Invariante Source Formen, Erhaltungsgleichungen und das inverse Problem der Variationsrechnung

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In dieser Arbeit wird bewiesen, dass eine partielle Differentialgleichung (PDG) unter gewissen Voraussetzungen notwendigerweise variationell sein muss, d.h., dass sie sich als Euler-Lagrange Gleichung schreiben lässt. Anstatt die PDG direkt zu untersuchen, wird die sogenannte source form betrachtet, welche das natürliche Objekt in dieser Problemstellung ist. Wir zeigen, dass wenn eine source form gewisse Symmetrien und dazugehörige Erhaltungsgleichungen erfüllt, dann muss sie notwendigerweise variationell sein. Erhaltungsgleichungen beschreiben wichtige Eigenschaften von physikalischen Differentialgleichungen, wie z.B. Energie-, Impuls-, Drehimpuls-, Massen-, Ladungserhaltung usw. Wie aus dem ersten und zweiten Noetherschem Theorem bekannt ist, führen Symmetrien des variationellen Funktionals auf Erhaltungsgleichungen. In einem gewissen Sinne wollen wir diese Aussage umdrehen und beweisen, dass Symmetrien und Erhaltungsgleichungen zu einem variatonellen Funktional führen.

Item Type: Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords: Calculus of variations, conservation laws, symmetries, Noether’s theorem, PDEs
Subjects: Science and mathematics > Mathematics
Divisions: Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited: 21 Jun 2019 08:48
Last Modified: 21 Jun 2019 08:48
URI: https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/4067
URN: urn:nbn:de:gbv:715-oops-41483
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