Neurohr, Christian (2018) Efficient integration on Riemann surfaces & applications. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

This thesis is concerned with efficient algorithms for numerical integration of differential forms on Riemann surfaces with applications motivated by arithmetic geometry. Central topics are the computation of period matrices, which determine the (analytic) Jacobian of an algebraic curve up to isomorphism, and the computation of the Abel-Jacobi map, which establishes a connection between curve and Jacobian. These objects are defined in terms of integrals of holomorphic differentials and can be approximated via numerical integration. In this work we describe and analyze, in detail, algorithms (and their implementation) that achieve this goal fast, reliably and to high precision. For this, several numerical integration schemes are employed and combined: Gauss quadrature, Clenshaw-Curtis quadrature and double-exponential integration. The Riemann surface is assumed to be given by a plane (singular) affine equation over a number field or, in a special case, by a superelliptic model.

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Effiziente Integration auf Riemannschen Flächen & Anwendungen

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Diese Dissertation beschäftigt sich mit effizienten Algorithmen zur numerischen Integration von Differentialformen auf Riemannschen Flächen und deren Anwendung auf Problemstellungen in der arithmetischen Geometrie. Zentrale Themen sind die Berechnung von Periodenmatrizen, welche die (analytische) Jacobische einer algebraischen Kurve bis auf Isomorphie beschreiben, sowie die Berechnung der Abel-Jacobi Abbildung. Diese Objekte sind durch Integrale von holomorphen Differentialformen definiert und können mittels numerischer Integration approximiert werden. Wir beschreiben und analysieren Algorithmen (und deren Implementierung), welche dies schnell, zuverlässig und zu hoher Präzision erreichen. Es werden verschiedene Integrationverfahren kombiniert: Gauss Quadratur, Clenshaw-Curtis Quadratur und doppel-exponentielle Integration. Die Riemannsche Fläche ist hierbei durch eine ebene (singuläre) affine Gleichung über einem Zahlkörper gegeben oder durch ein superelliptisches Modell.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	Riemannsche Fläche, Zahlentheorie, Algebraische Geometrie, Arithmetische Geometrie, Numerische Mathematik
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	11 Jun 2018 14:30
Last Modified:	11 Jun 2018 14:30
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/3607
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-36885
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