Heinze, Aiso (2001) Applications of Schur rings in algebraic combinatorics: graphs, partial difference sets and cyclotomic schemes. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

The concept of Schur rings was introduced in 1933 by I. Schur. For several decades applications of Schur rings were restricted to the investigation of permutation groups. Starting in the fifties, similar concepts like association schemes, cellular algebras and coherent configurations were introduced independently by different authors. They were used for various questions in algebraic combinatorics and statistics. In this thesis three different tasks which are related to these concepts are considered: (1) characterization of commuting graphs, (2) consideration of strongly regular graphs and partial difference sets and (3) investigation of cyclotomic schemes. The first part deals with graphs with commuting adjacency matrices. Here, we give results for commuting regular graphs and discuss the case of non-regular graphs. The second part deals with the construction of partial difference sets by using strongly regular Cayley graphs. Theoretical and computational approaches are discussed and all regular partial difference sets in groups up to order 49 are determined. Moreover, regular partial difference sets for strongly regular graphs up to 255 vertices which have primitive automorphism group, are constructed. In the third part an algorithm for the determination of cellular subrings of cellular rings is adopted for cyclotomic schemes. This algorithm uses the information given by cyclotomic numbers for the complete theoretical determination of all subschemes. The determination of subschemes for cyclotomic schemes with three, four and six classes are described in detail.

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Die Theorie der Schur Ringe, eingeführt 1933 von I. Schur, spielte über mehrere Jahrzehnte nur auf dem Gebiet der Permutationsgruppen eine Rolle. Seit den fünfziger Jahren wurden unabhängig voneinander ähnliche Konzepte wie Assoziationsschemata, zellulare Ringe oder kohärente Konfigurationen für verschiedene Probleme in der Algebraischen Kombinatorik und Statistik entwickelt. In dieser Dissertation werden Fragestellungen aus den Gebieten (1) vertauschbare Graphen, (2) streng reguläre Graphen und partielle Differenzenmengen und (3) zyklotomische Schemata vor dem Hintergrund dieser Konzepte betrachtet. Der erste Teil behandelt Graphen mit kommutierenden Adjazenzmatrizen. Ergebnisse für vertauschbare reguläre Graphen werden präsentiert und die Fragestellung für nicht reguläre Graphen diskutiert. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Konstruktion von partiellen Differenzenmengen durch streng reguläre Cayley Graphen. Dazu werden theoretische und computer-basierte Verfahren diskutiert und eine vollständige Liste regulärer partieller Differenzenmengen in allen Gruppen mit bis zu 49 Elementen konstruiert. Außerdem werden reguläre partielle Differenzenmengen für streng reguläre Graphen bis zu 255 Ecken mit primitiver Automorphismengruppe bestimmt. In einem dritten Teil der Dissertation wird eine Methode zur Bestimmung aller Unterschemata in einem zyklotomischen Schema beschrieben. Dazu wird ein Algorithmus, der alle zellularen Unterringe eines zellularen Ringes bestimmt, verwendet. Dieser Algorithmus benutzt Informationen, die durch die zyklotomischen Zahlen des Schemas gegeben werden. Abschließend werden Unterschemata der zyklotomischen Schemata mit drei, vier und sechs Klassen beschrieben.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	[Keine Schlagwörter von Autor/in vergeben.]
Controlled Keywords:	Schur-Ringe, algebraische Kombinatorik
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	17 Jan 2013 14:17
Last Modified:	08 Jul 2013 13:03
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/321
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-3519
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