Delfs, Christina (2016) Isogenies and endomorphism rings of abelian varieties of low dimension. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

In this work we regard methods for computing isogenies between abelian varieties over finite fields. We develop new theoretical results leading to a new algorithm which for supersingular elliptic curves over F_p improves the previous approaches notably and which is as fast as algorithms for ordinary elliptic curves. In order to achieve this, we use restricted endomorphism rings to establish a connection to an ideal class group. We also show that isogenies under this reduction are defined over F_p. These results yield a simple description of F_p-rational supersingular isogeny graphs in an ordered level-structure, which provides the basis for the new computational method of feasible bi-directional search. MAGMA implementations reveal computational results which validate the preceding complexity analysis. Additionally, we also investigate Jacobians of hyperelliptic curves of genus two. Especially supersingular abelian varieties prove to be more difficult since approaches of the ordinary case cannot be generalized directly to this setting.

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Isogenien und Endomorphismenringe abelscher Varietäten von niedriger Dimension

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In dieser Arbeit werden Methoden zur Berechnung von Isogenien zwischen abelschen Varietäten über endlichen Körpern untersucht. Es werden theoretische Resultate entwickelt, die zu einem neuen Algorithmus führen. Dieser verbessert für supersinguläre elliptische Kurven über F_p die bisherigen Herangehensweisen und ist ebenso schnell wie Algorithmen für gewöhnliche elliptische Kurven. Dafür wird mittels eingeschränkter Endomorphismenringe eine neuartige Verbindung zu einer Idealklassengruppe hergestellt. Außerdem wird gezeigt, dass Isogenien unter dieser Reduktion über F_p definiert sind. Dies liefert eine einfache Beschreibung F_p-rationaler Isogeniegraphen supersingulärer elliptischer Kurven in einer levelartigen Struktur, welche Grundlage der neuen bidirektionalen Suche ist. Implementationen in MAGMA bestätigen die vorhergehenden Komplexitätsanalysen. Zusätzlich werden Jacobische hyperelliptischer Kurven von Geschlecht zwei untersucht. Besonders supersinguläre Varietäten stellen sich dabei als schwierig heraus, da Ansätze aus dem gewöhnlichen Fall nicht greifen.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	Isogenie, Elliptische Kurve, Endomophismenring, Graphentheorie
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	17 Mar 2016 14:13
Last Modified:	17 Mar 2016 14:13
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/2736
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-28173
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