Yacoub, Diala (2014) Topology and spectrum in quantum layers. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

Given a complete non-compact surface Σ embedded in R3, we consider the Dirichlet Laplacian, −∆ΩD, on the quantum layer Ω, that is defined as a tubular neighborhood of constant width about Σ. Recently, sufficient geometrical and topological conditions have been found which guarantee the existence of discrete spectrum, that is isolated points of the spectrum which are eigenvalues with finite multiplicity. The purpose of this thesis is to identify relationships between the topology of Σ and the spectrum of the Dirichlet Laplacian on the quantum layer Ω. More explicitly, we find a lower bound on the number of eigenvalues of −∆ΩD in terms of the genus of Σ. We consider two classes of surfaces Σ: Firstly, Σ is a Euclidean plane with handles, whose distance to each other is greater than or equal to a constant. Secondly, Σ is a Euclidean plane outside a compact set with nontrivial topology.

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Topologie und Spektrum von dünnen Schichten

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Für eine vollständige nicht kompakte Fläche Σ, die im R3 eingebettet ist, betrachten wir den Dirichlet Laplace Operator, −∆ΩD, auf einer Tubenumgebung Ω von Σ mit konstanter Breite. In letzter Zeit sind hinreichende geometrische und topologische Bedingungen gefunden worden, die die Existenz von diskretem Spektrum garantieren, das heißt von isolierten Punkten des Spektrums, die Eigenwerten mit endlicher Vielfachheit sind. Das Ziel dieser Arbeit ist es, Beziehungen zwischen der Topologie von Σ und dem Spektrum von −∆ΩD zu finden. Genauer finden wir eine untere Schranke für die Anzahl der Eigenwerte von −∆ΩD in Termen des Geschlechts von Σ. Wir betrachten zwei Klassen von Flächen Σ: Zum einen ist Σ eine Euklidische Ebene mit Henkeln, deren Abstand zueinander größer oder gleich einer Konstanten ist. Zweitens ist Σ eine Euklidische Ebene außerhalb einer kompakten Menge mit nicht trivialer Topologie.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	Topologie, Spektrum, Adiabatischer Limes, Dünne Schicht, Differentialgeometrie, Funktionalanalysis
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	05 Mar 2015 13:01
Last Modified:	10 Mar 2015 11:48
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/2339
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-24203
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