Iber, Philipp (2025) Combinatorial studies of Fano varieties via toric embeddings. PhD, Universität Oldenburg.

Preview

Volltext (1455Kb)

Abstract

This thesis contributes to the development of combinatorial methods for the study of geometrical invariants of Fano varieties. In the first part, we provide a combinatorial criterion for a non-degenerate toric complete intersection to be normal and irreducible. This is done by studying the structure of complete and simplicial fans corresponding to toric varieties of Picard number two. Secondly, we prove that the Gorenstein index of Fano general arrangement varieties can be read off the anticanonical complex (a polyhedral complex that generalizes the toric Fano polytope for broader classes of varieties) in full analogy to the Fano polytope. As an application, we classify certain threefolds with Gorenstein index at most three. Lastly, we contribute to the classification of Fano threefolds with torus action of complexity one. For this purpose, we take advantage of the properties of the anticanonical complex. We extend previous classification results by allowing combinatorially non-minimal varieties.

["eprint_fieldname_title_plus" not defined]

Kombinatorische Untersuchungen von Fano Varietäten über torische Einbettungen

["eprint_fieldname_abstract_plus" not defined]

Diese Dissertation leistet einen Beitrag zur Entwicklung kombinatorischer Methoden zur Untersuchung geometrischer Invarianten von Fano-Varietäten. Im ersten Teil wird ein kombinatorisches Kriterium dafür aufgestellt, dass ein nicht-entarteter torischer vollständiger Durchschnitt normal und irreduzibel ist. Dafür wird die Struktur von vollständigen und simplizialen Fächern untersucht, die zu torischen Varietäten mit Picard-Zahl zwei korrespondieren. Zweitens zeigen wir, dass (analog zum torischen Fano-Polytop) der Gorenstein-Index für Fano Arrangement-Varietäten aus dem antikanonischen Komplex (einem polyedrischen Komplex, der das Fano-Polytop für andere Varietäten verallgemeinert) abgelesen werden kann. Damit klassifizieren wir bestimmte drei-dimensionale Varietäten mit einem Gorenstein-Index von höchstens drei. Zuletzt tragen wir zur Klassifizierung von drei-dimensionalen Fano-Varietäten mit Torus-Wirkung der Komplexität eins bei. Dafür nutzen wir die Eigenschaften des antikanonischen Komplexes und erweitern frühere Klassifizierungsergebnisse um kombinatorisch nicht-minimale Varietäten.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	Fano varieties, torus action, Fano polytope, anticanonical complex
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	01 Apr 2025 08:43
Last Modified:	01 Apr 2025 08:43
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/7167
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-72484
DOI:
Nutzungslizenz:

Actions (login required)

View Item