Buchmann, Nicola (1999) Fehlerabschätzungen von Näherungslösungen unendlicher Gleichungssysteme durch Gelfandzahlen von Tensorproduktoperatoren. PhD, Universität Oldenburg.

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Abstract

In dieser Dissertation werden Aspekte zweier Teilgebiete aus der theoretischen Informatik und der Funktionalanalysis in Verbindung zueinander gebracht. Ausgangspunkt ist die Frage nach der Ungenauigkeit computergesteuerter Berechnungen von approximativen Lösungen einer speziellen Familie linearer Gleichungssysteme x-Ax=y, wobei A eine unendliche Matrix ist. Basierend auf Ergebnissen von S. Heinrich wird für dieses Problem ein abstraktes komplexitätstheoretisches Modell entwickelt. Damit erhält man Abschätzungen des sogenannten minimalen Approximationsfehlers bei näherungsweiser Lösung von Familien allgemeiner Operatorgleichungen durch Gelfandzahlen eines durch die Problemstellung festgelegten Operators. Dieses abstrakte Modell wird auf obige lineare Gleichungssysteme angewandt und liefert dann als Fehlerschranken für den minimalen Approximationsfehler Gelfandzahlen von Tensorprodukten von Diagonaloperatoren zwischen 1_p-Räumen. Im zweiten Teil der Dissertation wird das asymptotische Verhalten dieser Gelfandzahlen (fast vollständig) bestimmt. Dabei werden tiefliegende, von A. Pietsch sowie B. Carl, E. D. Gluskin, R. Linde und C. Lubitz stammende Resultate aus der Theorie der s-Zahlen von Operatoren benutzt, deren Beweise teilweise vereinfacht, verbessert oder alternativ geführt werden. Die Asymptotik der Gelfandzahlen von Tensorprodukten von Diagonaloperatoren ist auch vom theoretischen Standpunkt her interessant. Zentral in dieser Arbeit ist jedoch, daß sich die eingangs gestellte Frage nach der Ungenauigkeit der gesuchten Näherungslösungen mit Kenntnis dieser Asymptotiken beantworten läßt.

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In this thesis aspects of theoretical computing science and functional analysis are connected. Starting point is the problem of determining the inaccuracy arising from computer based calculations of approximate solutions for a specific family of systems of linear equations x-Ax=y, where A is an infinite matrix. Based on results by S. Heinrich an abstract model is developed, which yields estimates of the so-called minimal error of approximation for approximate solution of families of general operator equations. These estimates are given by Gelfand numbers of an operator determined by the setting of this problem. Applying the abstract model to the systems of linear equations described above one obtains estimates for the minimal error of approximation in terms of Gelfand numbers of tensor products of diagonal operators acting between 1_p-spaces. The second part of the thesis is devoted to the determination of the asymptotic behaviour of these Gelfand numbers. For this end deep results of A. Pietsch as well as B. Carl, E. D. Gluskin, R. Linde and C. Lubitz from the theory of s-numbers of operators are used and some of their proofs are simplified, improved or given in an alternative way. The asymptotic behaviour of Gelfand numbers of tensor products of diagonal operators is interesting in its own right. But the crucial point here is that knowing this behaviour one can determine the inaccuracy of approximate solutions for the family of systems of linear equations mentioned above.

Item Type:	Thesis (PhD)
Uncontrolled Keywords:	[Keine Schlagwörter von Autor/in vergeben.]
Controlled Keywords:	Unendliche Gleichungssysteme, Komplexitätstheorie, Näherungslösungen, Approximationsfehler
Subjects:	Science and mathematics > Mathematics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited:	17 Jan 2013 14:17
Last Modified:	17 Jan 2013 14:17
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/415
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-4481
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