Müller, Niklas (2018) Der Menger-Schwamm und das Kugelvolumen in höheren Dimensionen. ["eprint_fieldopt_thesis_type_bachelor" not defined], Universität Oldenburg.

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Abstract

Der Sierpiński-Teppich ist eine wohlbekannte fraktale Menge in der Ebene, deren Flächeninhalt Null ist. Überträgt man dieses Prinzip in den drei-dimensionalen Raum, so erhält man den Menger-Schwamm: Eine fraktale Menge, dessen Volumen Null ist. Ed Pegg und Matt Parker haben eine interessante Beobachtung gemacht: Eine geschickte Modifikation des Sierpiński-Teppichs ergibt eine Figur mit positivem Flächeninhalt, der genau ein Viertel der Fläche des Einheitskreises gleicht. Das analoge Ergebnis (hier ist es ein Achtel des Volumens der Einheitskugel) erhält man für die entsprechende Modifikation des Menger-Schwamms. Motiviert durch diese Beobachtung wird in dieser Bachelorarbeit dem Versuch nachgegangen, eine Gesetzmäßigkeit für das vorliegende Phänomen zu finden, das heißt zu untersuchen, ob es sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern lässt. Dazu wird zunächst vorbereitend das Volumen der d-dimensionalen Kugel hergeleitet sowie die Struktur des d-dimensionalen Würfels untersucht. Weiterhin wird eine Verallgemeinerung des modifizierten Menger-Schwamms in höheren Dimensionen, also eine „Durchbohrungsvorschrift“ gefunden und präzise beschrieben. Das Hauptergebnis dieser Bachelorarbeit ist die Feststellung, dass es in der Tat eine solche Durchbohrungsvorschrift gibt, für das d-dimensionale Volumen des entstehenden modifizierten Menger-Schwamms dem Volumen des positiven Sektors der d-dimensionalen Einheitskugel gleicht.

Item Type: Thesis (["eprint_fieldopt_thesis_type_bachelor" not defined])
Uncontrolled Keywords: Sierpiński, Sierpiński-Teppich, Menger, Menger-Schwamm, Kugelvolumen, Wallis, Wallis-Produkt, Würfel, Einheitswürfel, Einheitskugel, höherdimensionaler Würfel, Seitenelemente, Durchbohrung
Subjects: Science and mathematics > Mathematics
Divisions: Faculty of Mathematics and Science > Institute for Mathematics (IfM)
Date Deposited: 11 Jan 2019 10:04
Last Modified: 11 Jan 2019 10:12
URI: https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/3749
URN: urn:nbn:de:gbv:715-oops-38305
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