Nickelsen, Daniel (2014) Markov processes in Thermodynamics and Turbulence. PhD, Universitätsbibliothek Oldenburg.

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Abstract

This thesis deals with Markov processes in stochastic thermodynamics and fully developed turbulence. In the first part of the thesis, a detailed account on the theory of Markov processes is given, forming the mathematical fundament. In the course of developing the theory of continuous Markov processes, stochastic differential equations, the Fokker-Planck equation and Wiener path integrals are introduced and embedded into the class of discontinuous Markov processes. Special attention is paid to the difficulties that arise in the case of multiplicative noise. Referring to the paradigm of Brownian motion, the thermodynamic quantities work, heat and entropy, and the accompanied first law and second law, are formulated on the level of individual trajectories using stochastic differential equations. One of the prominent results of stochastic thermodynamics are so-called fluctuation theorems which reveal an intimate relation between entropy production and irreversibility. Using the path integral formulation, fluctuations theorems are derived in a formal setting. Applications of fluctuation theorems to thermodynamic systems are dependent on a reliable statistics of rare events. To access the statistics of rare events, an asymptotic method is developed. The first order asymptotics is derived for the general case of multiplicative noise, the second order asymptotics for the simpler case of additive noise. The application of the asymptotic method is demonstrated for work distributions in physically relevant models. The second part of the thesis carefully introduces the concept of fully developed turbulence and gives an account on established theories. These theories can be reformulated in terms of Markov processes. An overview of these Markov representations is compiled, including a few new approaches. In view of the results of stochastic thermodynamics, implications for the Markov representation are exploited. Fluctuation theorems are derived and applied to experimental data. In an experimental as well as theoretical analysis, fluctuation theorems are found to be sensitive to intermittent small-scale fluctuations. The above mentioned asymptotic method is used to assess these fluctuations. In closing the thesis, the discussed approaches to fully developed turbulence are contrasted with each other using their Markov representations, and an interpretation of the respective Markov processes is offered.

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Diese Dissertation beschäftigt sich mit Markov Prozessen in stochastischer Thermodynamik und voll entwickelter Turbulenz. Der erste Teil der Arbeit führt ausführlich in die Theorie der Markov Prozesse ein. Die Darstellung dieses mathematischen Grundgerüstes schließt stochastische Differentialgleichungen, die Fokker-Planck Gleichung und Wiener Pfadintegrale ein. Diese dadurch beschriebenen stetigen Markov Prozesse werden in die Formulierung unstetiger Markov Prozesse eingebettet. Ein besonderes Augenmerk ist dabei auf die Komplikationen gerichtet, die sich für den Fall multiplikativen Rauschens ergeben. In Bezug auf das Musterbeispiel Brown'scher Bewegung werden aus stochastischen Differentialgleichungen Arbeit, Wärme und Entropie, und die damit einhergehenden ersten beiden Hauptsätze der Thermodynamik auf der Ebene individueller Trajektorien eingeführt. Herausragende Ergebnisse stochastischer Thermodynamik sind sogenannte Fluktuationstheoreme, die die enge Beziehung zwischen Entropieproduktion und Irreversibilität deutlich machen. Die Fluktuationstheoreme werden formal aus der Pfadintegral-Formulierung hergeleitet. Die Anwendungen der Fluktuationstheoreme auf thermodynamische Systeme ist abhängig von einer zuverlässigen Statistik seltener Ereignisse. Um die Statistik seltener Ereignisse zugänglich zu machen, wird eine asymptotische Methode entwickelt. Die Asymptotik erster Ordnung wird für den allgemeinen Fall multiplikativen Rauschens hergeleitet, die Asymptotik zweiter Ordnung für additives Rauschen. Die Anwendung der asymptotischen Methode wird für Arbeitsverteilung in physikalisch relevanten Modellen demonstriert. Der zweite Teil der Arbeit führt sorgfältig in das Konzept voll entwickelter Turbulenz ein und verschafft einen Überblick über etablierte Theorien. Diese Theorien können auch als Markov Prozesse formuliert werden. Es wird eine Zusammenstellung dieser Markov Darstellungen angefertigt, die auch ein paar neue Ansätze einschließt. In Hinblick auf Ergebnisse der stochastischen Thermodynamik wird ihre Bedeutung für die Markov Darstellung ausgewertet. Fluktuationstheoreme werden berechnet und auf experimentelle Daten angewandt. Sowohl hinsichtlich einer experimentellen als auch einer theoretischen Untersuchung stellt sich heraus, dass Fluktuationstheoreme dem Auftreten intermittenter klein-skaliger Fluktuationen Rechnung tragen. Unter Benutzung der oben genannten asymptotischen Methode werden diese Fluktuationen beurteilt. Abschließend werden die besprochenen Theorien voll entwickelter Turbulenz anhand ihrer Markov Darstellung gegenübergestellt, und eine Interpretation der entsprechenden Markov Prozesse wird unterbreitet.

Item Type:	Thesis (PhD)
Subjects:	Science and mathematics > Physics
Divisions:	Faculty of Mathematics and Science > Institute of Physics (IfP)
Date Deposited:	26 Jan 2015 10:19
Last Modified:	02 Feb 2015 09:13
URI:	https://oops.uni-oldenburg.de/id/eprint/2193
URN:	urn:nbn:de:gbv:715-oops-22749
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